"Na początek należy przestać mówić i zacząć robić"  Walt Disney

Matematyka

Matematyka rozwija się od ponad czterech tysięcy lat. Nadal mierzymy kąty za pomocą systemu 360 stopni wprowadzonego przez Babilończyków. Geometria dojrzała wraz ze starożytnymi Grekami, którzy również rozumieli liczby niewymierne. Cywilizacja mauretańska rozwinęła algebrę i spopularyzowała ideę zera jako liczby. Matematyka ma bogatą historię nie bez powodu. Jest zarówno niezwykle użyteczny - język nauki, technologii, architektury i handlu - jak i głęboko satysfakcjonujący jako poszukiwanie intelektualne. Matematyka nie tylko ma bogatą przeszłość, ale nadal ewoluuje, zarówno pod względem wyrafinowania podejść do ustalonych dziedzin, jak i odkrywania lub wymyślania nowych obszarów badań. Ostatnio komputery zapewniły nowy sposób badania nieznanego, a nawet jeśli tradycyjnym dowodem matematycznym są produkty końcowe, symulacje numeryczne mogą stanowić źródło nowej intuicji, która przyspiesza proces formułowania przypuszczeń. Tylko wariat udawałby, że cała matematyka może być przedstawiona w 200 kawałkach wielkości kęsa. Spróbujemy opisać niektóre osiągnięcia matematyki, zarówno starożytnej, jak i współczesnej, i wyjaśnić, dlaczego są one tak ekscytujące. W celu bardziej szczegółowego rozwinięcia niektórych pomysłów wydaje się naturalne skupienie się na podstawach matematyki. Wiele zastosowań tych pomysłów jest wymienionych tylko na marginesie. Koncepcje matematyki opierają się na sobie nawzajem, a tematy są tak zorganizowane, aby pokrewne obszary były w miarę blisko siebie. Ale uważaj na połączenia dalekiego zasięgu. Jedną z niesamowitych cech matematyki jest to, że pozornie oddzielne obszary studiów okazują się być głęboko powiązane. Potworny bimber stanowi współczesny tego przykład, a równania macierzowe bardziej ugruntowanym ogniwem. Jest to mocną destylacją czterech tysięcy lat ludzkich wysiłków, ale może to być tylko początek. Mam nadzieję, że będzie to trampolina do dalszej lektury i głębszych przemyśleń.

•  Liczby

•  Zbiory

•  Sekwencje i szeregi

•  Geometria

•  Algebra

•  Funkcje i rachunek różniczkowy

•  Wektory i macierze

•  Algebra abstrakcyjna

•  Liczby zespolone

•  Kombinatoryka

•  Przestrzenie i topologia

• Logika i dowód

• Teoria liczb

Powrót

Liczby

Liczby w swoim najbardziej elementarnym znaczeniu to tylko przymiotniki opisujące ilość. Możemy na przykład powiedzieć "trzy krzesła" lub "dwie owce". Ale nawet jako przymiotnik instynktownie rozumiemy, że wyrażenie "dwie i pół kozy" nie ma sensu. Liczby mogą więc mieć różne zastosowania i znaczenia. Ponieważ starożytni ludzie używali ich na różne sposoby, liczby nabrały znaczenia symbolicznego, podobnie jak lilia wodna, która przedstawia liczbę 1000 w egipskich hieroglifach. Chociaż estetyczne, to wizualne podejście nie nadaje się do manipulacji algebraicznych. W miarę jak liczby stawały się coraz powszechniejsze, ich symbole stały się prostsze. Rzymianie używali niewielkiego zakresu podstawowych znaków do reprezentowania ogromnego zakresu liczb. Jednak obliczenia przy użyciu dużych liczb były nadal skomplikowane. Nasz nowoczesny system cyfr jest dziedzictwem arabskich cywilizacji pierwszego tysiąclecia naszej ery. Wykorzystując 10 jako podstawę, znacznie ułatwia zarządzanie złożonymi manipulacjami.

Powrót

Liczby naturalne

Liczby naturalne to proste liczby liczące (0, 1, 2, 3, 4, ...). Umiejętność liczenia jest ściśle związana z rozwojem złożonych społeczeństw poprzez handel, technologię i dokumentację. Jednak liczenie wymaga czegoś więcej niż tylko liczb. Obejmuje dodawanie, a więc także odejmowanie. Po wprowadzeniu liczenia operacje na liczbach również stają się częścią leksykonu - liczby przestają być prostymi deskryptorami, a stają się obiektami, które mogą się nawzajem przekształcać. Po zrozumieniu dodawania mnożenie następuje jako sposób patrzenia na sumy - ile obiektów jest w pięciu grupach po sześć? - podczas gdy dzielenie jest sposobem na opisanie operacji odwrotnej do mnożenia - jeśli trzydzieści obiektów jest podzielonych na pięć równych grup , ile obiektów jest w każdym? Ale są problemy. Co to znaczy podzielić 31 na 5 równych grup? Co to jest 1 odjąć 10? Aby nadać sens tym pytaniom, musimy wyjść poza liczby naturalne.

Powrót

Jeden

Razem z zerem liczba jeden jest sercem całej arytmetyki. Jeden jest przymiotnikiem dla pojedynczego obiektu: przez wielokrotne dodawanie lub odejmowanie liczby od siebie lub od siebie, można utworzyć wszystkie dodatnie i ujemne liczby całkowite, liczby całkowite. To była podstawa liczenia, być może najwcześniejszego systemu liczenia, którego początki sięgają czasów prehistorycznych. Odgrywa również szczególną rolę w mnożeniu: pomnożenie dowolnej liczby przez jeden daje po prostu liczbę pierwotną. Właściwość tę wyraża się nazywając ją tożsamością multiplikatywną. Liczba jeden ma unikalne właściwości, które oznaczają, że zachowuje się w nietypowy sposób - jest czynnikiem wszystkich innych liczb całkowitych, pierwszej liczby niezerowej i pierwszej liczby nieparzystej. Zapewnia również przydatny standard porównawczy dla pomiarów, więc wiele obliczeń matematycznych i przyrodniczych jest znormalizowanych, aby dać odpowiedzi od zera do jednego

Zero

Zero to złożony pomysł i przez długi czas istniała spora filozoficzna niechęć do rozpoznania go i nazwania go. Najwcześniejsze symbole zera znajdują się tylko między innymi cyframi, co wskazuje na brak. Na przykład starożytny babiloński system liczbowy używał symbolu zastępczego dla zera, gdy znajdował się on między innymi cyframi, ale nie na końcu liczby. Najwcześniejsze ostateczne użycie zera jako liczby, jak każda inna, pochodzi od indyjskich matematyków około IX wieku. Pomijając względy filozoficzne, pierwsi matematycy niechętnie przyjmowali zero, ponieważ nie zawsze zachowuje się ono jak inne liczby. Na przykład dzielenie przez zero jest operacją bez znaczenia, a pomnożenie dowolnej liczby przez zero po prostu daje zero. Jednak zero odgrywa w dodatku tę samą rolę, co w mnożeniu. Jest znany jako tożsamość addytywna, ponieważ każda podana liczba plus zero daje w wyniku liczbę pierwotną.

Nieskończoność

Nieskończoność (reprezentowana matematycznie jako ∞) to po prostu pojęcie nieskończoności: nieskończony przedmiot to taki, który jest nieograniczony. Trudno jest uprawiać matematykę bez spotkania z nieskończonością w takiej czy innej formie. Wiele matematycznych argumentów i technik wymaga albo wyboru czegoś z nieskończonej listy, albo przyjrzenia się temu, co się stanie, jeśli jakiemuś procesowi pozwoli się dążyć do nieskończoności, zmierzając do jego nieskończonej granicy. Nieskończone zbiory liczb lub innych obiektów, zwane nieskończonymi zbiorami, są kluczową częścią matematyki. Matematyczny opis takich zbiorów prowadzi do pięknego wniosku, że istnieje więcej niż jeden rodzaj zbioru nieskończonego, a zatem istnieje kilka różnych typów nieskończoności. W rzeczywistości istnieje nieskończenie wiele, większych i większych rodzajów zbioru nieskończonego i chociaż może się to wydawać sprzeczne z intuicją, wynika to z logiki definicji matematycznych

Systemy liczbowe

System liczbowy to sposób zapisywania liczb. W naszym codziennym systemie dziesiętnym reprezentujemy na przykład liczby w postaci 434,15. Cyfry w liczbie oznaczają jednostki, dziesiątki, setki, dziesiąte, setne, tysięczne itd. I nazywane są współczynnikami. Czyli 434,15 = (4 × 100) + (3 × 10) + (4 × 1) + (1/10) + (5/100). To jest po prostu skrótowy opis sumy potęg dziesięciu, a każdą liczbę rzeczywistą (patrz strona 22) można zapisać w ten sposób. Ale nie ma nic specjalnego w tym systemie "base 10". Tę samą liczbę można zapisać w dowolnej dodatniej podstawie liczby całkowitej n, używając współczynników z zakresu od 0 do n - 1. Na przykład w systemie dwójkowym lub binarnym liczba 8 5/16 może być zapisana jako 1000,0101. Współczynniki po lewej stronie przecinka dziesiętnego pokazują jednostki, dwójki, czwórki i ósemki - potęgi 2. Te po prawej stronie pokazują połówki, ćwiartki, ósemki i szesnastki. Większość komputerów korzysta z systemu binarnego, ponieważ dwa współczynniki (0 i 1) są łatwiejsze w obsłudze elektronicznie

Oś liczbowa

Oś liczbowa jest użytecznym pojęciem do myślenia o znaczeniu operacji matematycznych. Jest to linia pozioma z dużymi podziałami oznaczonymi dodatnimi i ujemnymi liczbami całkowitymi rozciągającymi się w każdym kierunku. Cały zakres liczb całkowitych objętych osią liczbową nazywany jest liczbami całkowitymi. Dodanie liczby dodatniej odpowiada przesunięciu w prawo na osi liczbowej o odległość równą podanej liczbie dodatniej. Odejmowanie liczby dodatniej odpowiada przesunięciu w lewo o tę dodatnią odległość. Tak więc jeden minus dziesięć oznacza przesunięcie o 10 jednostek w lewo od 1, co daje minus dziewięć, czyli -9. Pomiędzy pokazanymi liczbami całkowitymi znajdują się inne liczby, takie jak połowy, tercje i ćwiartki. Są to współczynniki utworzone przez podzielenie dowolnej liczby całkowitej przez niezerową liczbę całkowitą. Wraz z liczbami naturalnymi - zerem i dodatnimi liczbami całkowitymi, które są efektywnymi stosunkami podzielonymi przez 1, tworzą liczby wymierne. Są one oznaczone drobniejszymi i drobniejszymi podziałami na osi liczbowej. Ale czy liczby wymierne uzupełniają oś liczbową? Okazuje się, że prawie wszystkie liczby od zera do jedynki nie mogą być zapisane jako współczynniki. Są to liczby niewymierne, liczby, których reprezentacje dziesiętne nigdy się nie kończą i ostatecznie się nie powtarzają. Kompletny zestaw wartości wymiernych i niewymiernych razem nazywany jest liczbami rzeczywistymi

Rodziny liczb

Liczby można podzielić na rodziny liczb, które mają określone właściwości. Istnieje wiele sposobów umieszczania liczb w klasach w ten sposób. W rzeczywistości, tak jak istnieje nieskończoność liczb, istnieje nieskończona różnorodność sposobów, na jakie można je dzielić i rozróżniać. Na przykład liczby naturalne, liczby całkowite, za pomocą których liczymy obiekty w świecie rzeczywistym, są po prostu taką rodziną, podobnie jak liczby całkowite-liczby całkowite, w tym liczby mniejsze od zera. Liczby wymierne tworzą inną rodzinę i pomagają zdefiniować jeszcze większą rodzinę, liczby nieracjonalne. Rodziny liczb algebraicznych i transcendentalnych są definiowane przez inne zachowania, podczas gdy członkowie wszystkich tych różnych rodzin są członkami liczb rzeczywistych, zdefiniowanych w opozycji do liczb urojonych. Stwierdzenie, że liczba jest członkiem pewnej rodziny, jest skróconym sposobem opisania jej różnych właściwości, a tym samym wyjaśnienia, jakiego rodzaju pytania matematyczne możemy na jej temat zadać. Często rodziny powstają w wyniku utworzenia funkcji, które opisują sposób konstruowania sekwencji liczb. Alternatywnie możemy skonstruować funkcję lub regułę opisującą rodziny, które intuicyjnie rozpoznajemy. Na przykład instynktownie rozpoznajemy liczby parzyste, ale czym one są? Matematycznie moglibyśmy zdefiniować je jako wszystkie liczby naturalne w postaci 2 × n, gdzie n samo jest liczbą naturalną. Podobnie liczby nieparzyste są liczbami naturalnymi w postaci 2n + 1, podczas gdy liczby pierwsze to liczby większe od 1, których jedynymi dzielnikami są 1 i siebie. Inne rodziny powstają naturalnie w matematyce - na przykład w liczbach Fibonacciego (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …, każda liczba jest sumą dwóch poprzednich. Ten wzorzec pojawia się naturalnie zarówno w biologii, jak iw matematyce (patrz strona 86). Liczby Fibonacciego są również ściśle związane ze złotym podziałem. Inne przykłady obejmują tablice mnożenia, które są tworzone przez pomnożenie dodatnich liczb całkowitych przez określoną liczbę oraz kwadraty, w których każda liczba jest iloczynem liczby naturalnej ze sobą: n razy n lub n2 lub n do kwadratu.

Łączenie liczb

Istnieje wiele różnych sposobów łączenia dowolnych dwóch podanych liczb. Można je zsumować, aby uzyskać sumę, odjąć, aby utworzyć różnicę, pomnożyć razem, aby otrzymać iloczyn, i podzielić, pod warunkiem, że dzielnik jest różny od zera, aby uzyskać ich stosunek. W rzeczywistości, jeśli myślimy o a - b jako o a + (?b) i a/b jako a × 1/b , to jedynymi naprawdę zaangażowanymi operacjami są dodawanie i mnożenie, a także obliczanie odwrotności. Mówi się, że dodawanie i mnożenie są przemienne, ponieważ kolejność liczb nie ma znaczenia, ale w przypadku bardziej skomplikowanych sekwencji kolejność wykonywania operacji może mieć znaczenie. Aby zwiększyć jasność w tych przypadkach, opracowano pewne konwencje. Co najważniejsze, operacje, które należy wykonać jako pierwsze, są zapisane w nawiasach. Mnożenie i dodawanie spełniają również inne ogólne zasady dotyczące reinterpretacji nawiasów, zwane asocjatywnością i dystrybucją, pokazane na odwrót.

Liczby wymierne

Liczby wymierne to liczby, które można wyrazić, dzieląc jedną liczbę całkowitą przez inną niezerową liczbę całkowitą. Tak więc wszystkie liczby wymierne mają postać ułamków lub ilorazów. Są one zapisywane jako jedna liczba, licznik, podzielony przez drugą, mianownik. Liczby wymierne wyrażone w postaci dziesiętnej albo kończą się po skończonej liczbie cyfr, albo jedna lub kilka cyfr są powtarzane w nieskończoność. Na przykład 0,3333333. . . jest liczbą wymierną wyrażoną w postaci dziesiętnej. W postaci ułamkowej ta sama liczba to 1/3. To również prawda ,że każda liczba dziesiętna, która dobiega końca lub się powtarza, musi być liczbą wymierną, którą można wyrazić w postaci ułamkowej. Ponieważ istnieje nieskończona liczba liczb całkowitych, nie jest zaskakujące stwierdzenie, że istnieje nieskończona liczba sposobów dzielenia się jeden przez drugi, ale nie oznacza to, że istnieje "większa nieskończoność" liczb wymiernych niż liczb całkowitych.

Kwadraty, pierwiastki kwadratowe i potęgi

Kwadrat dowolnej liczby x jest iloczynem samej liczby, oznaczony jako x2. Pojęcie to wywodzi się z faktu, że pole powierzchni kwadratu (o równych bokach) jest długością boku pomnożoną przez siebie. Kwadrat dowolnej liczby niezerowej jest dodatni, ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni, a kwadrat zerowy wynosi zero. I odwrotnie, każda liczba dodatnia musi być kwadratem dwóch liczb, x i -x. To są jego pierwiastki kwadratowe. Mówiąc bardziej ogólnie, mnożenie przez siebie liczby x n razy daje x do potęgi n, zapisanej xn. Potęgi mają swoje własne reguły kombinacji, które wynikają z ich znaczenia: xn × xm = xn+m, (xn)m = xnm, x0 = 1, x1 = x i x-1 = 1/x .Z wzoru (xn)m = xnm wynika również, że pierwiastek kwadratowy z liczby można traktować jako liczbę podniesioną do potęgi połowy, tj. √x = x1/2

Liczby pierwsze

Liczby pierwsze są dodatnimi liczbami całkowitymi, które są podzielne tylko przez siebie i 1. Pierwsze jedenaście to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 i 31, ale jest ich nieskończenie wiele. Zgodnie z konwencją 1 nie jest uważane za liczbę pierwszą, a 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą. Liczba, która nie jest ani 1, ani liczbą pierwszą, nazywana jest liczbą złożoną. Każda liczba złożona może być zapisana niepowtarzalnie jako iloczyn czynników pierwszych pomnożonych razem: na przykład 12 = 22 × 3, 21 = 3 × 7 i 270 = 2 × 33 × 5. Ponieważ liczby pierwsze nie mogą być faktoryzowane same, mogą należy traktować jako podstawowe elementy składowe dodatnich liczb całkowitych. Jednak określenie, czy liczba jest liczbą pierwszą, i znalezienie czynników pierwszych, jeśli tak nie jest, może być niezwykle trudne. Ten proces jest zatem idealną podstawą dla systemów szyfrowania. Istnieje wiele głębokich wzorów na liczbach pierwszych, a jedna z największych i wyróżniających się hipotez matematyki, hipoteza Riemanna, dotyczy ich dystrybucji

Powrót

Dzielniki i reszty

Liczba jest dzielnikiem innej liczby, jeśli dzieli się dokładnie na tę liczbę, bez reszty. Czyli 4 jest dzielnikiem 12, ponieważ można go podzielić na 12 dokładnie trzy razy. W tego rodzaju operacji dzielona liczba, 12, nazywana jest dywidendą. Ale co z 13 podzielonymi przez 4? W tym przypadku 4 nie jest dzielnikiem 13, ponieważ dzieli się na 13 trzy razy, ale pozostawia 1. Jeden sposób wyrażenia odpowiedzi to trzy, a reszta jeden. To inny sposób na powiedzenie, że 12, czyli 3 × 4, jest największą liczbą całkowitą mniejszą niż dywidenda (13), która jest podzielna przez cztery, i że 13 = 12 + 1. Gdy reszta jednej jest teraz podzielona przez po czwarte, wynik jest ułamkiem, więc odpowiedź na nasze pierwotne pytanie to 3. 3 i 4 są dzielnikami 12 (podobnie jak 1, 2, 6 i 12). Jeśli podzielimy jedną liczbę naturalną, powiedzmy p, przez drugą q, która nie jest dzielnikiem p, to zawsze jest reszta, r, która jest mniejsza niż q. Oznacza to, że ogólnie p = kq + r, gdzie k jest liczbą naturalną, a r jest liczbą naturalną mniejszą niż q. Dla dowolnych dwóch liczb p i q największy wspólny dzielnik, GCD, znany również jako najwyższy wspólny czynnik, jest największą liczbą, która jest dzielnikiem zarówno p, jak i q. Ponieważ 1 jest oczywiście dzielnikiem obu liczb, GCD jest zawsze większe lub równe 1. Jeśli GCD wynosi 1, to liczby są uważane za względnie pierwsze - nie mają wspólnych dodatnich dzielników z wyjątkiem 1. Dzielniki tworzą interesującą rodzinę liczb zwaną "liczbami idealnymi". Są to liczby, których dodatnie dzielniki, wyłączając siebie, sumują się do wartości samej liczby. Pierwszą i najprostszą liczbą doskonałą jest 6, która jest równa sumie jej dzielników, 1, 2 i 3. Druga liczba doskonała to 28, czyli 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Musisz czekać. znacznie dłużej, aby znaleźć trzecią: 496, co jest równe 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248. Idealne liczby są rzadkie, a znalezienie ich jest wyzwaniem. Matematycy nie znaleźli jeszcze rozstrzygających odpowiedzi na niektóre ważne pytania, takie jak czy istnieje nieskończona liczba doskonałych liczb, czy też wszystkie są parzyste.

Powrót

Algorytm Euklidesa

Algorytm to metoda lub przepis na rozwiązanie problemu poprzez przestrzeganie zestawu reguł. Algorytm Euklidesa jest wczesnym przykładem, sformułowanym około 300 r. p.n.e. Służy do znajdowania największego wspólnego dzielnika, GCD, dwóch liczb. Algorytmy mają fundamentalne znaczenie dla informatyki, a większość urządzeń elektronicznych wykorzystuje je do tworzenia użytecznych wyników. Najprostsza wersja algorytmu Euklidesa wykorzystuje fakt, że GCD dwóch liczb jest taki sam jak GCD mniejszej liczby i różnicy między nimi. To pozwala nam wielokrotnie usuwać większą liczbę z pary, zmniejszając rozmiar liczb, których to dotyczy, aż jedna z nich zniknie. Ostatnią liczbą niezerową jest GCD oryginalnej pary. Ta metoda może wymagać wielu powtórzeń, aby uzyskać odpowiedź. Bardziej wydajna metoda, standardowy algorytm, zastępuje większą liczbę resztą otrzymaną po podzieleniu jej przez mniejszą liczbę, aż nie będzie reszty

Powrót

Liczby niewymierne

Liczby niewymierne to liczby, których nie można wyrazić przez podzielenie jednej liczby naturalnej przez drugą. W przeciwieństwie do liczb wymiernych nie można ich wyrazić jako stosunek między dwiema liczbami całkowitymi ani w postaci dziesiętnej, która albo kończy się, albo przechodzi w regularny wzór powtarzających się cyfr. Zamiast tego dziesiętne ekspansje liczb niewymiernych trwają wiecznie bez okresowych powtórzeń. Podobnie jak liczby naturalne i wymierne, irracjonalne mają nieskończony zasięg. Ale podczas gdy wymierne i liczby całkowite są zbiorami tej samej wielkości lub liczności, irracjonalne są jeszcze znacznie liczniejsze. W rzeczywistości ich natura sprawia, że są nie tylko nieskończone, ale i niepoliczalne. Niektóre z najważniejszych liczb w matematyce są niewymierne, w tym π, stosunek obwodu koła do jego promienia, stała Eulera e, złoty współczynnik oraz √2 pierwiastek kwadratowy z 2.

Powrót

Liczby algebraiczne i transcendentalne

Liczba algebraiczna to taka, która jest rozwiązaniem równania obejmującego potęgi zmiennej x, wielomian o współczynnikach wymiernych, podczas gdy liczba transcendentalna to taka, która nie jest takim rozwiązaniem. Współczynniki w takich równaniach to liczby, które mnożą każdą ze zmiennych. Na przykład √2 jest irracjonalne, ponieważ nie można go zapisać jako stosunek dwóch liczb całkowitych. Ale jest algebraiczny, ponieważ jest rozwiązaniem x2 - 2 = 0, które ma współczynniki wymierne (1 i 2). Wszystkie liczby wymierne są algebraiczne, ponieważ każdy podany stosunek p/q można znaleźć jako rozwiązanie qx - p = 0. Można by oczekiwać, że liczby transcendentalne będą rzadkie, ale w rzeczywistości jest odwrotnie. √2 jest wyjątkowa i prawie wszystkie irracjonalne są również transcendentalne. Udowodnienie tego jest bardzo trudne, ale przypadkowo wybrana liczba od zera do jedynki prawie na pewno byłaby transcendentalna. Rodzi to pytanie, dlaczego matematycy spędzają tyle czasu na rozwiązywaniu równań algebraicznych, ignorując zdecydowaną większość liczb.

Powrót