"Standardowa edukacja zapewni Ci przeżycie. Samokształcenie - fortunę".   Jim Rohn

Matematyka

Matematyka rozwija się od ponad czterech tysięcy lat. Nadal mierzymy kąty za pomocą systemu 360 stopni wprowadzonego przez Babilończyków. Geometria dojrzała wraz ze starożytnymi Grekami, którzy również rozumieli liczby niewymierne. Cywilizacja mauretańska rozwinęła algebrę i spopularyzowała ideę zera jako liczby. Matematyka ma bogatą historię nie bez powodu. Jest zarówno niezwykle użyteczny - język nauki, technologii, architektury i handlu - jak i głęboko satysfakcjonujący jako poszukiwanie intelektualne. Matematyka nie tylko ma bogatą przeszłość, ale nadal ewoluuje, zarówno pod względem wyrafinowania podejść do ustalonych dziedzin, jak i odkrywania lub wymyślania nowych obszarów badań. Ostatnio komputery zapewniły nowy sposób badania nieznanego, a nawet jeśli tradycyjnym dowodem matematycznym są produkty końcowe, symulacje numeryczne mogą stanowić źródło nowej intuicji, która przyspiesza proces formułowania przypuszczeń. Tylko wariat udawałby, że cała matematyka może być przedstawiona w 200 kawałkach wielkości kęsa. Spróbujemy opisać niektóre osiągnięcia matematyki, zarówno starożytnej, jak i współczesnej, i wyjaśnić, dlaczego są one tak ekscytujące. W celu bardziej szczegółowego rozwinięcia niektórych pomysłów wydaje się naturalne skupienie się na podstawach matematyki. Wiele zastosowań tych pomysłów jest wymienionych tylko na marginesie. Koncepcje matematyki opierają się na sobie nawzajem, a tematy są tak zorganizowane, aby pokrewne obszary były w miarę blisko siebie. Ale uważaj na połączenia dalekiego zasięgu. Jedną z niesamowitych cech matematyki jest to, że pozornie oddzielne obszary studiów okazują się być głęboko powiązane. Potworny bimber stanowi współczesny tego przykład, a równania macierzowe bardziej ugruntowanym ogniwem. Jest to mocną destylacją czterech tysięcy lat ludzkich wysiłków, ale może to być tylko początek. Mam nadzieję, że będzie to trampolina do dalszej lektury i głębszych przemyśleń.

•  Liczby

•  Zbiory

•  Sekwencje i szeregi

•  Geometria

•  Algebra

•  Funkcje i rachunek różniczkowy

•  Wektory i macierze

•  Algebra abstrakcyjna

•  Liczby zespolone

•  Kombinatoryka

•  Przestrzenie i topologia

• Logika i dowód

• Teoria liczb

Powrót

Liczby

Liczby w swoim najbardziej elementarnym znaczeniu to tylko przymiotniki opisujące ilość. Możemy na przykład powiedzieć "trzy krzesła" lub "dwie owce". Ale nawet jako przymiotnik instynktownie rozumiemy, że wyrażenie "dwie i pół kozy" nie ma sensu. Liczby mogą więc mieć różne zastosowania i znaczenia. Ponieważ starożytni ludzie używali ich na różne sposoby, liczby nabrały znaczenia symbolicznego, podobnie jak lilia wodna, która przedstawia liczbę 1000 w egipskich hieroglifach. Chociaż estetyczne, to wizualne podejście nie nadaje się do manipulacji algebraicznych. W miarę jak liczby stawały się coraz powszechniejsze, ich symbole stały się prostsze. Rzymianie używali niewielkiego zakresu podstawowych znaków do reprezentowania ogromnego zakresu liczb. Jednak obliczenia przy użyciu dużych liczb były nadal skomplikowane. Nasz nowoczesny system cyfr jest dziedzictwem arabskich cywilizacji pierwszego tysiąclecia naszej ery. Wykorzystując 10 jako podstawę, znacznie ułatwia zarządzanie złożonymi manipulacjami.

Powrót

Liczby naturalne

Liczby naturalne to proste liczby liczące (0, 1, 2, 3, 4, ...). Umiejętność liczenia jest ściśle związana z rozwojem złożonych społeczeństw poprzez handel, technologię i dokumentację. Jednak liczenie wymaga czegoś więcej niż tylko liczb. Obejmuje dodawanie, a więc także odejmowanie. Po wprowadzeniu liczenia operacje na liczbach również stają się częścią leksykonu - liczby przestają być prostymi deskryptorami, a stają się obiektami, które mogą się nawzajem przekształcać. Po zrozumieniu dodawania mnożenie następuje jako sposób patrzenia na sumy - ile obiektów jest w pięciu grupach po sześć? - podczas gdy dzielenie jest sposobem na opisanie operacji odwrotnej do mnożenia - jeśli trzydzieści obiektów jest podzielonych na pięć równych grup , ile obiektów jest w każdym? Ale są problemy. Co to znaczy podzielić 31 na 5 równych grup? Co to jest 1 odjąć 10? Aby nadać sens tym pytaniom, musimy wyjść poza liczby naturalne.

Powrót

Jeden

Razem z zerem liczba jeden jest sercem całej arytmetyki. Jeden jest przymiotnikiem dla pojedynczego obiektu: przez wielokrotne dodawanie lub odejmowanie liczby od siebie lub od siebie, można utworzyć wszystkie dodatnie i ujemne liczby całkowite, liczby całkowite. To była podstawa liczenia, być może najwcześniejszego systemu liczenia, którego początki sięgają czasów prehistorycznych. Odgrywa również szczególną rolę w mnożeniu: pomnożenie dowolnej liczby przez jeden daje po prostu liczbę pierwotną. Właściwość tę wyraża się nazywając ją tożsamością multiplikatywną. Liczba jeden ma unikalne właściwości, które oznaczają, że zachowuje się w nietypowy sposób - jest czynnikiem wszystkich innych liczb całkowitych, pierwszej liczby niezerowej i pierwszej liczby nieparzystej. Zapewnia również przydatny standard porównawczy dla pomiarów, więc wiele obliczeń matematycznych i przyrodniczych jest znormalizowanych, aby dać odpowiedzi od zera do jednego

Zero

Zero to złożony pomysł i przez długi czas istniała spora filozoficzna niechęć do rozpoznania go i nazwania go. Najwcześniejsze symbole zera znajdują się tylko między innymi cyframi, co wskazuje na brak. Na przykład starożytny babiloński system liczbowy używał symbolu zastępczego dla zera, gdy znajdował się on między innymi cyframi, ale nie na końcu liczby. Najwcześniejsze ostateczne użycie zera jako liczby, jak każda inna, pochodzi od indyjskich matematyków około IX wieku. Pomijając względy filozoficzne, pierwsi matematycy niechętnie przyjmowali zero, ponieważ nie zawsze zachowuje się ono jak inne liczby. Na przykład dzielenie przez zero jest operacją bez znaczenia, a pomnożenie dowolnej liczby przez zero po prostu daje zero. Jednak zero odgrywa w dodatku tę samą rolę, co w mnożeniu. Jest znany jako tożsamość addytywna, ponieważ każda podana liczba plus zero daje w wyniku liczbę pierwotną.

Nieskończoność

Nieskończoność (reprezentowana matematycznie jako ∞) to po prostu pojęcie nieskończoności: nieskończony przedmiot to taki, który jest nieograniczony. Trudno jest uprawiać matematykę bez spotkania z nieskończonością w takiej czy innej formie. Wiele matematycznych argumentów i technik wymaga albo wyboru czegoś z nieskończonej listy, albo przyjrzenia się temu, co się stanie, jeśli jakiemuś procesowi pozwoli się dążyć do nieskończoności, zmierzając do jego nieskończonej granicy. Nieskończone zbiory liczb lub innych obiektów, zwane nieskończonymi zbiorami, są kluczową częścią matematyki. Matematyczny opis takich zbiorów prowadzi do pięknego wniosku, że istnieje więcej niż jeden rodzaj zbioru nieskończonego, a zatem istnieje kilka różnych typów nieskończoności. W rzeczywistości istnieje nieskończenie wiele, większych i większych rodzajów zbioru nieskończonego i chociaż może się to wydawać sprzeczne z intuicją, wynika to z logiki definicji matematycznych

Systemy liczbowe

System liczbowy to sposób zapisywania liczb. W naszym codziennym systemie dziesiętnym reprezentujemy na przykład liczby w postaci 434,15. Cyfry w liczbie oznaczają jednostki, dziesiątki, setki, dziesiąte, setne, tysięczne itd. I nazywane są współczynnikami. Czyli 434,15 = (4 × 100) + (3 × 10) + (4 × 1) + (1/10) + (5/100). To jest po prostu skrótowy opis sumy potęg dziesięciu, a każdą liczbę rzeczywistą (patrz strona 22) można zapisać w ten sposób. Ale nie ma nic specjalnego w tym systemie "base 10". Tę samą liczbę można zapisać w dowolnej dodatniej podstawie liczby całkowitej n, używając współczynników z zakresu od 0 do n - 1. Na przykład w systemie dwójkowym lub binarnym liczba 8 5/16 może być zapisana jako 1000,0101. Współczynniki po lewej stronie przecinka dziesiętnego pokazują jednostki, dwójki, czwórki i ósemki - potęgi 2. Te po prawej stronie pokazują połówki, ćwiartki, ósemki i szesnastki. Większość komputerów korzysta z systemu binarnego, ponieważ dwa współczynniki (0 i 1) są łatwiejsze w obsłudze elektronicznie

Oś liczbowa

Oś liczbowa jest użytecznym pojęciem do myślenia o znaczeniu operacji matematycznych. Jest to linia pozioma z dużymi podziałami oznaczonymi dodatnimi i ujemnymi liczbami całkowitymi rozciągającymi się w każdym kierunku. Cały zakres liczb całkowitych objętych osią liczbową nazywany jest liczbami całkowitymi. Dodanie liczby dodatniej odpowiada przesunięciu w prawo na osi liczbowej o odległość równą podanej liczbie dodatniej. Odejmowanie liczby dodatniej odpowiada przesunięciu w lewo o tę dodatnią odległość. Tak więc jeden minus dziesięć oznacza przesunięcie o 10 jednostek w lewo od 1, co daje minus dziewięć, czyli -9. Pomiędzy pokazanymi liczbami całkowitymi znajdują się inne liczby, takie jak połowy, tercje i ćwiartki. Są to współczynniki utworzone przez podzielenie dowolnej liczby całkowitej przez niezerową liczbę całkowitą. Wraz z liczbami naturalnymi - zerem i dodatnimi liczbami całkowitymi, które są efektywnymi stosunkami podzielonymi przez 1, tworzą liczby wymierne. Są one oznaczone drobniejszymi i drobniejszymi podziałami na osi liczbowej. Ale czy liczby wymierne uzupełniają oś liczbową? Okazuje się, że prawie wszystkie liczby od zera do jedynki nie mogą być zapisane jako współczynniki. Są to liczby niewymierne, liczby, których reprezentacje dziesiętne nigdy się nie kończą i ostatecznie się nie powtarzają. Kompletny zestaw wartości wymiernych i niewymiernych razem nazywany jest liczbami rzeczywistymi

Rodziny liczb

Liczby można podzielić na rodziny liczb, które mają określone właściwości. Istnieje wiele sposobów umieszczania liczb w klasach w ten sposób. W rzeczywistości, tak jak istnieje nieskończoność liczb, istnieje nieskończona różnorodność sposobów, na jakie można je dzielić i rozróżniać. Na przykład liczby naturalne, liczby całkowite, za pomocą których liczymy obiekty w świecie rzeczywistym, są po prostu taką rodziną, podobnie jak liczby całkowite-liczby całkowite, w tym liczby mniejsze od zera. Liczby wymierne tworzą inną rodzinę i pomagają zdefiniować jeszcze większą rodzinę, liczby nieracjonalne. Rodziny liczb algebraicznych i transcendentalnych są definiowane przez inne zachowania, podczas gdy członkowie wszystkich tych różnych rodzin są członkami liczb rzeczywistych, zdefiniowanych w opozycji do liczb urojonych. Stwierdzenie, że liczba jest członkiem pewnej rodziny, jest skróconym sposobem opisania jej różnych właściwości, a tym samym wyjaśnienia, jakiego rodzaju pytania matematyczne możemy na jej temat zadać. Często rodziny powstają w wyniku utworzenia funkcji, które opisują sposób konstruowania sekwencji liczb. Alternatywnie możemy skonstruować funkcję lub regułę opisującą rodziny, które intuicyjnie rozpoznajemy. Na przykład instynktownie rozpoznajemy liczby parzyste, ale czym one są? Matematycznie moglibyśmy zdefiniować je jako wszystkie liczby naturalne w postaci 2 × n, gdzie n samo jest liczbą naturalną. Podobnie liczby nieparzyste są liczbami naturalnymi w postaci 2n + 1, podczas gdy liczby pierwsze to liczby większe od 1, których jedynymi dzielnikami są 1 i siebie. Inne rodziny powstają naturalnie w matematyce - na przykład w liczbach Fibonacciego (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …, każda liczba jest sumą dwóch poprzednich. Ten wzorzec pojawia się naturalnie zarówno w biologii, jak iw matematyce (patrz strona 86). Liczby Fibonacciego są również ściśle związane ze złotym podziałem. Inne przykłady obejmują tablice mnożenia, które są tworzone przez pomnożenie dodatnich liczb całkowitych przez określoną liczbę oraz kwadraty, w których każda liczba jest iloczynem liczby naturalnej ze sobą: n razy n lub n2 lub n do kwadratu.

Łączenie liczb

Istnieje wiele różnych sposobów łączenia dowolnych dwóch podanych liczb. Można je zsumować, aby uzyskać sumę, odjąć, aby utworzyć różnicę, pomnożyć razem, aby otrzymać iloczyn, i podzielić, pod warunkiem, że dzielnik jest różny od zera, aby uzyskać ich stosunek. W rzeczywistości, jeśli myślimy o a - b jako o a + (?b) i a/b jako a × 1/b , to jedynymi naprawdę zaangażowanymi operacjami są dodawanie i mnożenie, a także obliczanie odwrotności. Mówi się, że dodawanie i mnożenie są przemienne, ponieważ kolejność liczb nie ma znaczenia, ale w przypadku bardziej skomplikowanych sekwencji kolejność wykonywania operacji może mieć znaczenie. Aby zwiększyć jasność w tych przypadkach, opracowano pewne konwencje. Co najważniejsze, operacje, które należy wykonać jako pierwsze, są zapisane w nawiasach. Mnożenie i dodawanie spełniają również inne ogólne zasady dotyczące reinterpretacji nawiasów, zwane asocjatywnością i dystrybucją, pokazane na odwrót.

Liczby wymierne

Liczby wymierne to liczby, które można wyrazić, dzieląc jedną liczbę całkowitą przez inną niezerową liczbę całkowitą. Tak więc wszystkie liczby wymierne mają postać ułamków lub ilorazów. Są one zapisywane jako jedna liczba, licznik, podzielony przez drugą, mianownik. Liczby wymierne wyrażone w postaci dziesiętnej albo kończą się po skończonej liczbie cyfr, albo jedna lub kilka cyfr są powtarzane w nieskończoność. Na przykład 0,3333333. . . jest liczbą wymierną wyrażoną w postaci dziesiętnej. W postaci ułamkowej ta sama liczba to 1/3. To również prawda ,że każda liczba dziesiętna, która dobiega końca lub się powtarza, musi być liczbą wymierną, którą można wyrazić w postaci ułamkowej. Ponieważ istnieje nieskończona liczba liczb całkowitych, nie jest zaskakujące stwierdzenie, że istnieje nieskończona liczba sposobów dzielenia się jeden przez drugi, ale nie oznacza to, że istnieje "większa nieskończoność" liczb wymiernych niż liczb całkowitych.

Kwadraty, pierwiastki kwadratowe i potęgi

Kwadrat dowolnej liczby x jest iloczynem samej liczby, oznaczony jako x2. Pojęcie to wywodzi się z faktu, że pole powierzchni kwadratu (o równych bokach) jest długością boku pomnożoną przez siebie. Kwadrat dowolnej liczby niezerowej jest dodatni, ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni, a kwadrat zerowy wynosi zero. I odwrotnie, każda liczba dodatnia musi być kwadratem dwóch liczb, x i -x. To są jego pierwiastki kwadratowe. Mówiąc bardziej ogólnie, mnożenie przez siebie liczby x n razy daje x do potęgi n, zapisanej xn. Potęgi mają swoje własne reguły kombinacji, które wynikają z ich znaczenia: xn × xm = xn+m, (xn)m = xnm, x0 = 1, x1 = x i x-1 = 1/x .Z wzoru (xn)m = xnm wynika również, że pierwiastek kwadratowy z liczby można traktować jako liczbę podniesioną do potęgi połowy, tj. √x = x1/2

Liczby pierwsze

Liczby pierwsze są dodatnimi liczbami całkowitymi, które są podzielne tylko przez siebie i 1. Pierwsze jedenaście to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 i 31, ale jest ich nieskończenie wiele. Zgodnie z konwencją 1 nie jest uważane za liczbę pierwszą, a 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą. Liczba, która nie jest ani 1, ani liczbą pierwszą, nazywana jest liczbą złożoną. Każda liczba złożona może być zapisana niepowtarzalnie jako iloczyn czynników pierwszych pomnożonych razem: na przykład 12 = 22 × 3, 21 = 3 × 7 i 270 = 2 × 33 × 5. Ponieważ liczby pierwsze nie mogą być faktoryzowane same, mogą należy traktować jako podstawowe elementy składowe dodatnich liczb całkowitych. Jednak określenie, czy liczba jest liczbą pierwszą, i znalezienie czynników pierwszych, jeśli tak nie jest, może być niezwykle trudne. Ten proces jest zatem idealną podstawą dla systemów szyfrowania. Istnieje wiele głębokich wzorów na liczbach pierwszych, a jedna z największych i wyróżniających się hipotez matematyki, hipoteza Riemanna, dotyczy ich dystrybucji

Powrót

Dzielniki i reszty

Liczba jest dzielnikiem innej liczby, jeśli dzieli się dokładnie na tę liczbę, bez reszty. Czyli 4 jest dzielnikiem 12, ponieważ można go podzielić na 12 dokładnie trzy razy. W tego rodzaju operacji dzielona liczba, 12, nazywana jest dywidendą. Ale co z 13 podzielonymi przez 4? W tym przypadku 4 nie jest dzielnikiem 13, ponieważ dzieli się na 13 trzy razy, ale pozostawia 1. Jeden sposób wyrażenia odpowiedzi to trzy, a reszta jeden. To inny sposób na powiedzenie, że 12, czyli 3 × 4, jest największą liczbą całkowitą mniejszą niż dywidenda (13), która jest podzielna przez cztery, i że 13 = 12 + 1. Gdy reszta jednej jest teraz podzielona przez po czwarte, wynik jest ułamkiem, więc odpowiedź na nasze pierwotne pytanie to 3. 3 i 4 są dzielnikami 12 (podobnie jak 1, 2, 6 i 12). Jeśli podzielimy jedną liczbę naturalną, powiedzmy p, przez drugą q, która nie jest dzielnikiem p, to zawsze jest reszta, r, która jest mniejsza niż q. Oznacza to, że ogólnie p = kq + r, gdzie k jest liczbą naturalną, a r jest liczbą naturalną mniejszą niż q. Dla dowolnych dwóch liczb p i q największy wspólny dzielnik, GCD, znany również jako najwyższy wspólny czynnik, jest największą liczbą, która jest dzielnikiem zarówno p, jak i q. Ponieważ 1 jest oczywiście dzielnikiem obu liczb, GCD jest zawsze większe lub równe 1. Jeśli GCD wynosi 1, to liczby są uważane za względnie pierwsze - nie mają wspólnych dodatnich dzielników z wyjątkiem 1. Dzielniki tworzą interesującą rodzinę liczb zwaną "liczbami idealnymi". Są to liczby, których dodatnie dzielniki, wyłączając siebie, sumują się do wartości samej liczby. Pierwszą i najprostszą liczbą doskonałą jest 6, która jest równa sumie jej dzielników, 1, 2 i 3. Druga liczba doskonała to 28, czyli 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Musisz czekać. znacznie dłużej, aby znaleźć trzecią: 496, co jest równe 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248. Idealne liczby są rzadkie, a znalezienie ich jest wyzwaniem. Matematycy nie znaleźli jeszcze rozstrzygających odpowiedzi na niektóre ważne pytania, takie jak czy istnieje nieskończona liczba doskonałych liczb, czy też wszystkie są parzyste.

Powrót

Algorytm Euklidesa

Algorytm to metoda lub przepis na rozwiązanie problemu poprzez przestrzeganie zestawu reguł. Algorytm Euklidesa jest wczesnym przykładem, sformułowanym około 300 r. p.n.e. Służy do znajdowania największego wspólnego dzielnika, GCD, dwóch liczb. Algorytmy mają fundamentalne znaczenie dla informatyki, a większość urządzeń elektronicznych wykorzystuje je do tworzenia użytecznych wyników. Najprostsza wersja algorytmu Euklidesa wykorzystuje fakt, że GCD dwóch liczb jest taki sam jak GCD mniejszej liczby i różnicy między nimi. To pozwala nam wielokrotnie usuwać większą liczbę z pary, zmniejszając rozmiar liczb, których to dotyczy, aż jedna z nich zniknie. Ostatnią liczbą niezerową jest GCD oryginalnej pary. Ta metoda może wymagać wielu powtórzeń, aby uzyskać odpowiedź. Bardziej wydajna metoda, standardowy algorytm, zastępuje większą liczbę resztą otrzymaną po podzieleniu jej przez mniejszą liczbę, aż nie będzie reszty

Powrót

Liczby niewymierne

Liczby niewymierne to liczby, których nie można wyrazić przez podzielenie jednej liczby naturalnej przez drugą. W przeciwieństwie do liczb wymiernych nie można ich wyrazić jako stosunek między dwiema liczbami całkowitymi ani w postaci dziesiętnej, która albo kończy się, albo przechodzi w regularny wzór powtarzających się cyfr. Zamiast tego dziesiętne ekspansje liczb niewymiernych trwają wiecznie bez okresowych powtórzeń. Podobnie jak liczby naturalne i wymierne, irracjonalne mają nieskończony zasięg. Ale podczas gdy wymierne i liczby całkowite są zbiorami tej samej wielkości lub liczności, irracjonalne są jeszcze znacznie liczniejsze. W rzeczywistości ich natura sprawia, że są nie tylko nieskończone, ale i niepoliczalne. Niektóre z najważniejszych liczb w matematyce są niewymierne, w tym π, stosunek obwodu koła do jego promienia, stała Eulera e, złoty współczynnik oraz √2 pierwiastek kwadratowy z 2.

Powrót

Liczby algebraiczne i transcendentalne

Liczba algebraiczna to taka, która jest rozwiązaniem równania obejmującego potęgi zmiennej x, wielomian o współczynnikach wymiernych, podczas gdy liczba transcendentalna to taka, która nie jest takim rozwiązaniem. Współczynniki w takich równaniach to liczby, które mnożą każdą ze zmiennych. Na przykład √2 jest irracjonalne, ponieważ nie można go zapisać jako stosunek dwóch liczb całkowitych. Ale jest algebraiczny, ponieważ jest rozwiązaniem x2 - 2 = 0, które ma współczynniki wymierne (1 i 2). Wszystkie liczby wymierne są algebraiczne, ponieważ każdy podany stosunek p/q można znaleźć jako rozwiązanie qx - p = 0. Można by oczekiwać, że liczby transcendentalne będą rzadkie, ale w rzeczywistości jest odwrotnie. √2 jest wyjątkowa i prawie wszystkie irracjonalne są również transcendentalne. Udowodnienie tego jest bardzo trudne, ale przypadkowo wybrana liczba od zera do jedynki prawie na pewno byłaby transcendentalna. Rodzi to pytanie, dlaczego matematycy spędzają tyle czasu na rozwiązywaniu równań algebraicznych, ignorując zdecydowaną większość liczb.

Powrót

π

π jest liczbą transcendentalną i jedną z podstawowych stałych matematyki. Reprezentowany przez grecką literę π, pojawia się w wielu różnych i nieoczekiwanych miejscach. Jest to tak ważne, że niektórzy matematycy i informatycy poświęcili wiele czasu i wysiłku na dokładniejsze obliczanie tego. W 2010 roku największa liczba miejsc po przecinku została obliczona przy użyciu komputera, oczywiście, wynosiła ponad 5 bilionów! Ze względów praktycznych taka precyzja jest niepotrzebna, a π można przybliżyć liczbami wymiernymi 22/7 i 355/113 (lub w notacji dziesiętnej) przez 3,14159265358979323846264338. Po raz pierwszy została odkryta za pomocą geometrii, być może już w 1900 roku p.n.e. w Egipcie i Mezopotamii, i jest zwykle wprowadzana jako stosunek obwodu koła do jego średnicy. Archimedes użył geometrii, aby znaleźć górną i dolną granicę tej wartości i od tego czasu stwierdzono, że pojawia się ona w dziedzinach tak pozornie niezwiązanych z prawdopodobieństwem i względnością.

Powrót

e

e jest liczbą transcendentalną i jedną z podstawowych stałych matematyki. Znana jako stała Eulera, ma wartość około 2,71828182845904523536028747. Jej naturalny dom zajmuje się analizą matematyczną i chociaż inżynierowie i fizycy chętnie pracują z potęgami dziesięciu i logarytmami do podstawy dziesięciu, matematycy prawie zawsze pracują z potęgami e i logarytmami do podstawy e. Są one znane jako logarytmy naturalne. Podobnie jak π e ma wiele definicji. Jest to niepowtarzalna liczba rzeczywista, dla której sama jest pochodna funkcji, czyli funkcja wykładnicza. Jest to naturalna proporcja prawdopodobieństwa; i ma wiele reprezentacji w postaci nieskończonych sum. e jest ściśle związane z ?, ponieważ funkcje trygonometryczne, które często są wyrażane za pomocą π, można również zdefiniować za pomocą funkcji wykładniczej

Powrót

Logarytmy

Logarytmy to przydatny sposób mierzenia rzędu wielkości liczby. Logarytm liczby to potęga, do której musi zostać podniesiona stała liczba, podstawa, aby otrzymać daną liczbę. Jeśli daną liczbę b można wyrazić jako 10a, to mówimy, że a jest logarytmem o podstawie 10 z b, oznaczonym jako log (b). Ponieważ iloczyn liczby podniesionej do różnych potęg można uzyskać dodając te potęgi, możemy również użyć logarytmów do uzyskania dowolnego mnożenia obejmującego potęgi. Zatem ustawiając an = x i am = y, regułę anam = an+m można zapisać w formie logarytmicznej jako log (xy) = log (x) + log (y), podczas gdy (an)w = anw to log ( w) = wlog (x). Reguły te były używane do uproszczenia dużych obliczeń w erze przed kalkulatorami elektronicznymi, przy użyciu tabel logarytmicznych lub reguł suwakowych - dwóch liniałów ze skalami logarytmicznymi, które poruszają się względem siebie, gdzie dodawanie skal pociąga za sobą mnożenie. i jest "liczbą" używaną do reprezentowania pierwiastka kwadratowego z -1. Ta nieprzedstawialna koncepcja nie jest tak naprawdę liczbą w sensie liczenia i jest znana jako liczba urojona. Pojęcie i jest przydatne, gdy próbujemy rozwiązać równanie takie jak x2 + 1 = 0, które można zmienić na x2 = ?1. Ponieważ podniesienie do kwadratu dowolnej dodatniej lub ujemnej liczby rzeczywistej zawsze daje wynik dodatni, nie może być rozwiązania opartego na liczbach rzeczywistych tego równania. Ale w klasycznym przykładzie piękna i użyteczności matematyki, jeśli zdefiniujemy rozwiązanie i nadamy mu nazwę (i), możemy osiągnąć idealnie spójne rozszerzenie liczb rzeczywistych. Tak jak liczby dodatnie mają zarówno dodatni, jak i ujemny pierwiastek kwadratowy, tak -i jest również pierwiastkiem kwadratowym z -1, a równanie x2 + 1 = 0 ma dwa rozwiązania. Uzbrojony w tę nową liczbę urojoną, otwiera się przed nami nowy świat liczb zespolonych, zarówno składowych rzeczywistych, jak i urojonych

Powrót

Przedstawiamy zbiory

Zestaw to po prostu zbiór przedmiotów. Obiekty w zestawie nazywane są jego elementami. Idea zbioru jest bardzo potężna i pod wieloma względami zbiory są absolutnie podstawowymi elementami matematyki - nawet bardziej podstawowymi niż liczby. Zbiór może mieć skończoną lub nieskończoną liczbę elementów i jest zwykle opisywany poprzez umieszczenie elementów w nawiasach klamrowych {}. Kolejność, w jakiej zapisywane są elementy, nie ma znaczenia w specyfikacji zestawu, ani nie ma znaczenia, czy element się powtarza. Zestawy mogą również składać się z innych zestawów, chociaż należy zachować szczególną ostrożność w ich opisie. Jednym z powodów, dla których zbiory są tak użyteczne, jest to, że pozwalają nam zachować ogólność, wprowadzając jak najmniejszą strukturę do badanych obiektów. Elementy w zestawie mogą być dowolnymi elementami, od liczb, przez ludzi, po planety, lub mieszanką wszystkich trzech, chociaż w zastosowaniach elementy są zwykle powiązane

Powrót

Łączenie zbiorów

Biorąc pod uwagę dowolne dwa zbiory, możemy użyć różnych operacji, aby utworzyć nowe zbiory, z których kilka ma swoje własne skróty. Przecięcie dwóch zbiorów X i Y, zapisane jako X ∩ Y, jest zbiorem wszystkich elementów, które są członkami zarówno X, jak i Y, podczas gdy suma X i Y, zapisana jako X ∪ Y, jest zbiorem wszystkich elementów które są w co najmniej jednym ze zbiorów X i Y. Pusty zbiór, reprezentowany jako {} lub ∅, to zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. Podzbiór zbioru X to zbiór, którego wszystkie elementy znajdują się w X. Może zawierać niektóre lub wszystkie elementy X, a pusty zbiór jest również możliwym podzbiorem dowolnego innego zbioru. Uzupełnienie Y, znane również jako nie Y i zapisane , jest zbiorem elementów nie w Y. Jeśli Y jest podzbiorem X, to względne uzupełnienie Y, zapisane X \ Y, jest zbiorem elementów w X które nie znajdują się w Y, i jest często określane jako X, a nie Y.

Powrót

Diagramy Venna

Diagramy Venna to proste diagramy wizualne szeroko stosowane do opisywania relacji między zbiorami. W swojej najprostszej formie dysk jest używany do reprezentowania każdego zestawu, a przecięcia dysków oznaczają przecięcia zestawów. Stosowanie takich diagramów do przedstawiania relacji między różnymi twierdzeniami filozoficznymi lub różnymi zbiorami sięga wieków. Został on sformalizowany przez brytyjskiego logika i filozofa Johna Venna w 1880 roku. Sam Venn nazywał je kręgami Eulera w odniesieniu do podobnego rodzaju diagramu opracowanego przez szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera w XVIII wieku. Dla trzech zestawów istnieje klasyczny sposób pokazania wszystkich możliwych relacji. Ale przez więcej niż trzy sety układ skrzyżowań bezczynnie staje się znacznie bardziej złożony

Powrót

Paradoks fryzjera

Paradoks to pozornie prawdziwe stwierdzenie, które jest sprzeczne ze sobą lub prowadzi do sytuacji, która wydaje się przeczyć logice. W 1901 roku brytyjski matematyk Bertrand Russell użył paradoksu fryzjerskiego, aby ujawnić wady elementarnej teorii mnogości:
Wszyscy mężczyźni w wiosce golą się lub są goleni przez fryzjera (on sam jest człowiekiem ze wsi). Fryzjer twierdzi, że goli tylko mężczyzn, którzy się nie golą. Więc kto goli fryzjera?
Przedstawiony ponownie w kategoriach zbiorów, paradoks prosi nas o rozważenie zbioru zawierającego wszystkie podzbiory, które nie mają siebie jako elementu. Czy ten zestaw jest sam w sobie? Bezpośrednim rozwiązaniem takich paradoksów było ograniczenie teorii mnogości za pomocą szeregu reguł lub aksjomatów, tworząc hierarchię zbiorów, które mogą być tylko elementami zbiorów znajdujących się ponad nimi w hierarchii. Chociaż nie jest to najbardziej eleganckie rozwiązanie, teorie mnogości aksjomatycznych zostały powszechnie zaakceptowane

Powrót

Kardynalność i policzalność

Kardynalność skończonego zbioru A, zapisanego |A|, to liczba różnych elementów w nim zawartych. O dwóch zbiorach, skończonych lub nieskończonych, mówi się, że mają tę samą liczność, jeśli ich elementy można umieścić w zgodności jeden do jednego. Oznacza to, że elementy każdego zestawu można łączyć w pary, przy czym każdy element jest powiązany dokładnie z jednym elementem w drugim zestawie. Zbiory policzalne to zbiory, których elementy można oznaczyć liczbami naturalnymi. Intuicyjnie oznacza to, że elementy zestawu mogą być wymienione, chociaż lista może być nieskończona. Matematycznie oznacza to, że zbiór można umieścić w korespondencji jeden do jednego z podzbiorem liczb naturalnych. Ma to zaskakujące konsekwencje. Na przykład ścisły podzbiór policzalnego zbioru może mieć taką samą liczność jak sam zbiór. Zatem zbiór wszystkich liczb parzystych ma taką samą liczność jak zbiór liczb kwadratowych, który ma taką samą liczność jak liczby naturalne. Mówi się, że wszystkie są policzalnie nieskończone.

Powrót

Hotel Hilberta

Hotel Hilberta Hotel Hilberta to analogia wymyślona przez matematyka Davida Hilberta w celu wizualizacji dziwnej idei policzalnych nieskończoności. Ten wyimaginowany hotel ma niezliczoną ilość pokoi o numerach 1, 2, 3,… i jest w pełni zajęty, gdy spóźnialski przybywa i błaga o pokój. Po namyśle konsjerż używa systemu nagłośnieniowego, aby poprosić każdego gościa o przejście do następnego pokoju w kolejności numerycznej. Zatem mieszkaniec pokoju 1 przenosi się do pokoju 2, pokój 2 przenosi się do pokoju 3 i tak dalej. Dla każdego z licznie nieskończonych gości w pokoju N zawsze jest pokój N + 1, do którego mogą się wprowadzić, więc zanim wszyscy się przeprowadzą, pokój 1 będzie mógł zajmować nowy gość. Hotel Hilberta pokazuje, że wynikiem dodania elementu do policzalnie nieskończonego zbioru jest nadal policzalnie nieskończony zbiór, więc muszą istnieć różne policzalne nieskończoności

Powrót

Liczenie liczb wymiernych

Chociaż nie wszystkie nieskończone zbiory są policzalne, niektóre bardzo duże zbiory są. Należą do nich liczby wymierne - liczby utworzone ze stosunku dwóch liczb całkowitych a/b. Możemy to udowodnić, patrząc tylko na wartości wymierne od 0 do 1. Jeśli wymierne od 0 do 1 są policzalne, to powinniśmy umieć ułożyć je w kolejności, która tworzy pełną, choć nieskończoną listę. Naturalna rosnąca kolejność wielkości jest tutaj nieprzydatna, ponieważ między dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi zawsze można znaleźć inną, więc nie mogliśmy zapisać nawet pierwszego i drugiego elementu takiej listy. Ale czy istnieje inny sposób podania numerów? Jednym z rozwiązań jest uporządkowanie liczb według mianownika, najpierw b, a następnie licznika a, jak pokazano obok. W tym podejściu występuje pewne powtórzenie, ale każda liczba wymierna od 0 do 1 pojawi się co najmniej raz na liście

Powrót

Gęste zbiory

Gęstość to właściwość opisująca relacje między zbiorami a ich podzbiorami, gdy istnieje pojęcie odległości między elementami zbiorów. Zapewnia sposób oceny względnego "rozmiaru" różnych nieskończonych zbiorów, który różni się od liczenia elementów. Na przykład jednym ze sposobów matematycznego nadania sensu idei, że liczby wymierne są "bardzo dużym" zbiorem, jest to, że są one gęste w określonym podzbiorze, w tym przypadku w liczbach rzeczywistych, które same są "bardzo duże". O zbiorze X mówi się, że jest gęsty w innym zbiorze Y, jeśli X jest podzbiorem Y, a dowolny punkt w X jest albo elementem Y, albo dowolnie zbliżony do jednego: dla dowolnego punktu w Y możemy wybrać dowolną odległość d większe niż 0 i znajdź punkt w X w odległości d od tego punktu. Aby udowodnić, że wartości wymierne są gęste w liczbach rzeczywistych, na przykład wybieramy odległość d i liczbę rzeczywistą y, a następnie udowadniamy, że zawsze istnieje liczba wymierna x w ciągu d od y, co można zrobić przez obcięcie dziesiętnej ekspansji liczby y

Powrót

Zbiory niepoliczalne

Zbiory niepoliczalne to nieskończone zbiory, których elementów nie można ułożyć w policzalnej kolejności. Istnienie takich zbiorów oznacza, że istnieją co najmniej dwa typy zbioru nieskończonego, policzalny i niepoliczalny, a okazuje się, że istnieje nieskończenie wiele różnych typów zbioru niepoliczalnego. Jak możemy udowodnić, że zbiór jest policzalny? W 1891 roku niemiecki matematyk Georg Cantor użył dowodu przez zaprzeczenie, aby wykazać, że zbiór liczb rzeczywistych od 0 do 1 jest niepoliczalny. Jeśli jest policzalna, rozumował, to istnieje nieskończona, ale policzalna lista jej elementów, z których każdy można zapisać w postaci:

0.a1a2a3a4….

gdzie każda cyfra ak jest liczbą naturalną między 0 a 9. Cantor zaprzeczył temu stwierdzeniu, pokazując, że zawsze jest możliwe skonstruowanie liczby rzeczywistej z zakresu od 0 do 1, której nie ma na tej liście. Załóżmy, że k-ta liczba rzeczywista na liście ma rozwinięcie dziesiętne:
0.ak1ak2ak3ak4

W takim przypadku możemy utworzyć liczbę, której nie ma na liście, patrząc na pierwszą liczbę na liście, k = 1, i wybierając pierwszą cyfrę w dziesiętnym rozwinięciu naszej nowej liczby jako 7, jeśli a11 = 6, i 6 w przeciwnym razie . Aby wybrać drugą cyfrę, stosujemy tę samą regułę, ale używamy drugiej cyfry drugiej liczby na liście. Trzecia cyfra znajduje się na podstawie trzeciej liczby i tak dalej:

0.a11a12a13a14….
0.a21a22a23a24….
0.a31a32a33a34

Na końcu tego nieskończonego procesu mielibyśmy liczbę, której interpretacja dziesiętna obejmuje tylko cyfry 6 i 7 i która różni się od dowolnego n-tego wpisu na liście w n-tym miejscu po przecinku - więc oryginalna lista nie jest kompletna, a zbiór jest niepoliczalne. Jest to znane jako argument przekątny Cantora.

Powrót

Zbiory Cantora

Zbiory Cantora to najwcześniejsze pojawienie się obiektów znanych jako fraktale. Argument przekątny rozwinięty przez Georga Cantora pokazuje, że pewne przedziały na osi liczb rzeczywistych są zbiorami niepoliczalnymi. Ale czy wszystkie niepoliczalne zbiory zawierają takie odstępy między wierszami? Cantor pokazał, że można skonstruować niepoliczalny zbiór, który nie zawiera odstępów między wierszami. Zbiory Cantora są nieskończenie skomplikowane; mają strukturę na coraz drobniejszych łuskach. Jeden przykład nazywa się środkowym trzecim zbiorem Cantora. Uzyskuje się ją zaczynając od interwału i usuwając środkowe tercje ze wszystkich przedziałów pozostałych na każdym etapie. Na n-tym etapie budowy ma 2n odstępów, każdy o długości 1/(3n) i łącznej długości ok. (2/3)n. Ponieważ n dąży do nieskończoności, tak samo jest z liczbą punktów w nim, podczas gdy długość zbioru zmniejsza się do zera. Trochę więcej pracy wymaga pokazanie, że naprawdę coś pozostaje na nieskończonej granicy tego podziału i udowodnienie, że zbiór jest niepoliczalny, ale da się to zrobić.

Powrót

Problemy Hilberta

Problemy Hilberta to lista 23 matematycznych problemów badawczych przedstawionych przez Davida Hilberta na Międzynarodowym Kongresie Matematyki w Paryżu w 1900 roku. Uważał je za kluczowe dla rozwoju matematyki w XX wieku. W XIX wieku system aksjomatyczny, po raz pierwszy użyty przez Euklidesa z Aleksandrii, został zastosowany na wielu nowych obszarach. Matematycy opracowali metody wyszukiwania aksjomatów definiujących badany obszar, na przykład w geometrii, punktach, liniach, krzywych i ich właściwościach, a następnie rozwijając przedmiot z tych aksjomatów za pomocą logiki. Wiele problemów Hilberta dotyczyło rozszerzenia metody aksjomatycznej, a ich rozwiązania znacznie rozwinęły matematykę, chociaż prace Kurta Gödla szybko zmieniły sposób postrzegania samych teorii aksjomatycznych. Stworzyli też modę na układanie list zagadek matematycznych, która trwa do dziś.

Powrót

Twierdzenia Gödla o niezupełności

Twierdzenia Gödla o niezupełności to dwa niezwykłe wyniki, które zmieniły sposób, w jaki matematycy postrzegają matematykę aksjomatyczną. Opracowany przez niemieckiego matematyka Kurta Gödla pod koniec lat dwudziestych XX wieku i we wczesnych latach trzydziestych teorematy wyrosły z jego metody kodowania twierdzeń w teoriach aksjomatycznych i pokazania, jak twierdzenia mogą być modyfikowane przez reguły logiczne. Chociaż aksjomatyczna metoda opisu różnych dziedzin matematyki okazała się bardzo skuteczna, wykazano, że niektóre teorie wymagają samych w sobie nieskończonych zbiorów aksjomatów, dlatego matematycy chcieli znaleźć formalne sposoby udowodnienia kompletności i spójności danego zbioru aksjomatów. . Uznaje się, że zbiór aksjomatów jest kompletny, jeśli jest w stanie udowodnić lub zaprzeczyć każdemu stwierdzeniu podanemu w jego odpowiednim języku, podczas gdy zbiór aksjomatów jest spójny, jeśli nie można sformułować żadnego stwierdzenia, które można zarówno udowodnić, jak i zanegować. Pierwsze twierdzenie Gödla stwierdza, że:

W każdej (odpowiedniej) teorii aksjomatycznej istnieją stwierdzenia, które mają sens w ramach teorii, ale których nie można w ramach tej teorii udowodnić prawdziwości lub fałszu.

Oznacza to, że aksjomaty teorii, co do których moglibyśmy mieć nadzieję, że całkowicie opisują tę teorię, nigdy tego nie zrobią i że zawsze jest możliwe zwiększenie liczby aksjomatów. Jakby tego było mało, druga komplikacja dotyczyła wewnętrznej spójności zbiorów aksjomatów:

Można tylko udowodnić, że (odpowiedni) zbiór aksjomatów jest niespójny, a nie, że są one spójne.

Innymi słowy, nigdy nie możemy być pewni, że zbiór aksjomatów nie zawiera ukrytej sprzeczności. Wyniki Gödla mają głębokie implikacje dla filozofii matematyki - ale ogólnie rzecz biorąc, pracujący matematycy mieli tendencję do postępowania tak, jakby nic się nie zmieniło.

Powrót

Aksjomat wyboru

Aksjomat wyboru jest podstawową zasadą, która jest często dodawana do listy aksjomatów używanych do zdefiniowania myślenia matematycznego. Jest używany w sposób dorozumiany w przekątnej argumentacji Cantora i wielu innych matematycznych dowodach, które obejmują założenie, że nieskończone listy mają jakieś abstrakcyjne istnienie i że można dokonać nieskończonego zestawu wyborów. Dokładniej, dowody te stwierdzają, że mając nieskończoną liczbę niepustych zbiorów zawierających więcej niż jeden element, można wybrać nieskończoną sekwencję elementów z dokładnie jednym z każdego zbioru. Niektórym wydaje się to absurdalne - nieskończoność znów podnosi niezręczną głowę - ale regułą zezwalającą na taką procedurę jest aksjomat wyboru. Można wybrać inne aksjomaty, które pozwalają, aby aksjomat wyboru pojawił się jako twierdzenie, ale niezależnie od tego, która wersja zostanie użyta, ten dodatek do podstawowego zestawu reguł logicznych jest konieczny, aby takie argumenty były dopuszczalne.

Powrót